สมบัติของวงกลม

 

1. รัศมีวงกลมเดียวกันย่อมเท่ากัน

2. เส้นผ่าศูนย์กลางยาวเป็นสองเท่าของรัศมี

3. คอร์ดยาวที่สุดของวงกลม คือ เส้นผ่าศูนย์กลาง

4. วงกลม 2 วงสัมผัสกันได้ที่จุดเดียวกัน

5. วงกลม 2 วงตัดกันได้เพียง 2 จุดเท่านั้น คือจุด A และจุด B

6 เส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลม จะแบ่งวงกลมออกเป็น 2 ส่วนเท่า ๆ กัน แต่ละส่วน เรียกว่า ” ครึ่งวงกลม”

7. วงกลมขนาดเท่ากัน 3 วงตัดกัน โดยให้เส้นรอบวงกลมแต่ละวงผ่านจุดศูนย์กลาง ของอีก 2 วง และ เมื่อต่อเชื่อมจุดตัดนั้นแล้ว จะเกิดรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า นั่น คือสามเหลี่ยม ABC

8. วงกลม 2 วงมีจุดศูนย์กลางร่วมกัน แต่ความยาวของรัศมีไม่เท่ากัน จะเกิดวงแหวนขึ้น

9. มุมในครึ่งวงกลมมีขนาดเท่ากับ 90 องศา หรือหนึ่งมุมฉาก นั่นคือมุม ACB = 90°

10. มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมจะมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของมุมในส่วนโค้งของวงกลมซึ่งรองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน นั่นคือ มุม AOC เป็นสองเท่า ของมุม ACB

11. ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมมีขนาด  เท่ากัน เมื่อส่วนโค้งที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลางยาวเท่ากัน

-วงกลม o = วงกลม E นั่นคือ   เหตุ : มุม AOB = มุม CED     ผล : ส่วนโค้งAB = ส่วนโค้ง CD

– วงกลม O = วงกลม E นั่นคือ   เหตุ : ส่วนโค้ง AB = ส่วนโค้ง CD    ผล : มุม AOB = มุม CED

                                 12. ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน มุมที่ส่วนโค้งของวงกลมจะมีขนาดเท่า
กัน เมื่อ ส่วนโค้ง ที่รองรับยาวเท่ากัน

– วงกลม X = วงกลม Y นั่นคือ   เหตุ : มุม ACB = มุม MON   ผล : ส่วนโค้งAB = ส่วนโค้ง MN

– วงกลม X = วงกลม Y นั่นคือ   เหตุ : ส่วนโค้ง AB = ส่วนโค้ง MN   ผล : มุม ACB = มุม MON

                             13. ในวงกลมที่เท่ากันหรือวงกลมเดียวกัน คอร์ดสองเส้นจะยาวเท่ากัน เมื่อ ตัดส่วนโค้งออกได้ยาวเท่ากัน

– วงกลม M= วงกลม N นั่นคือ   เหตุ : คอร์ด AB = คอร์ด CD  ผล : ส่วนโค้งAB = ส่วนโค้ง CD

– วงกลม E = วงกลม F นั่นคือ   เหตุ : ส่วนโค้ง XY = ส่วนโค้ง OS   ผล : คอร์ด XY = คอร์ด OS

                                  14 คอร์ดสองเส้นที่อยู่ในวงกลมวงหนึ่ง จะยาวเท่ากัน เมื่อ ระยะทางจากจุด ศูนย์กลางถึงคอร์ดสองเส้นนั้นยาวเท่ากัน

15 ส่วนของเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลาง และตัดกับคอร์ดที่ไม่ใช่เส้นผ่าศูนย์ กลาง จะตั้งฉากกับคอร์ดนั้น ก็ต่อเมื่อ ส่วนของเส้นตรงนั้นแบ่งหนึ่งคอร์ด

– วงกลม O   เหตุ : OC ตั้งฉากกับ AB ที่จุด C   ผล : AC = CB

– วงกลม O   เหตุ : AC = CB   ผล : OC ตั้งฉากกับ = AB

                                   16 เส้นตรงที่แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับคอร์ดของวงกลม จะผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม

– วงกลม O   เหตุ : เส้นตรง MN แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับ AB ที่จุด M   ผล : เส้นตรง MN ผ่านจุดศูนย์กลาง O

                                 17 . มีวงกลมวงเดียวเท่านั้นที่ผ่านจุดสามจุดซึ่งไม่อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน

เหตุ : A , B และ C เป็นจุดสามจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน    ผล : จะมีวงกลมวงเดียวที่ผ่านจุด A , B และ C

                                   18.  มุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยเส้นโค้งเดียวกัน จะมีขนาดเท่ากัน

เหตุ : มุม AEC , มุม ADC และ มุม ABC เป็นมุมในส่วนของวงกลม ที่รองรับด้วยส่วนโค้ง AC เดียวกัน    ผล : มุม AEC= มุม ADC= มุม ABC

รูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม

19.   ผลบวกของมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม ย่อมเท่ากับสองมุมฉาก

                           เหตุ : ABDC เป็นสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม    ผล : มุม A + มุม D= 180° และ มุม B + มุม C= 180°

                              20 ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลมออกไป มุมภายนอกที่ เกิดขึ้นจะเท่ากับมุมภายในที่อยู่ตรงข้าม

เหตุ : ABDC เป็นสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม   ผล : มุม ADC= มุม CBE

                           21 รูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม ผลบวกของด้านขนานของมุมตรงกันข้ามแต่ละคู่ เท่ากับ 180° หรือสองมุมฉาก

จากรูป มุม ABC + มุม ADC = 180°    มุม BAD+ มุม BCD = 180°

เส้นสัมผัสวงกลม

22.  เส้นสัมผัสวงกลมย่อมตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส

เหตุ : OC เป็นรัศมีของวงกลม O พบกับเส้นสัมผัส AB ทีจุด C    ผล : OT คั้งฉากกับ AB

 

23.  ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุด ๆ หนึ่งภายนอกวงกลมมาสัมผัสวงกลมเดียวกันจะยาวเท่ากัน

เหตุ : MQ , NP ลากจากจุด M มาสัมผัสวงกลม O ที่จุด P และ Q     ผล : MP = MQ

                      24 มุมที่เกิดจากเส้นสัมผัสจรดปลายคอร์ด ย่อมเท่ากับมุมในส่วนของวงกลมตรงกันข้าม

เหตุ : CD,CE,CF เป็นคอร์ด ลากมาพบเส้นสัมผัส AB ที่จุด C   ผล : มุม BCD = มุม CED = มุม CFD